Carnap’s Rule

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Die ω-Regel, auch Carnap’s Rule, ist eine unendlich-stellige Ableitungs- oder Schlussregel (genauer: ein Regelschema) in verschiedenen erweiterten Regelsystemen oder Kalkülen der Arithmetik, mit der All-Aussagen über natürliche Zahlen abgeleitet werden können. Der griechische Buchstabe ω ist ein übliches Symbol für die kleinste unendliche Ordinalzahl, die mit ω {\displaystyle \omega } oder ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} bezeichnet wird. Die ω-Regel kommt in Kalkülen vor, deren Sprache die natürlichen Zahlen hinreichend gut beschreiben kann, sodass die Symbole 0 {\displaystyle 0} (null), 1 {\displaystyle 1} (eins), 2 {\displaystyle 2} (zwei) usw. eine sinnvolle Bedeutung haben. In der üblichen Darstellung von Schlussregeln hat die ω-Regel folgende Definition: Für jede Formel ϕ ( n ) {\displaystyle \phi (n)} gelte Strenggenommen gibt es nicht eine einzelne ω-Regel, sondern eine ω-Regel für jede geeignete Aussage ϕ {\displaystyle \phi } , daher sprechen manche Autoren in solchen Fällen nicht von einer Regel, sondern einem Regelschema. Dabei bedeutet die Notation ϕ ( n ) {\displaystyle \phi (n)} , dass ϕ {\displaystyle \phi } eine Formel der betrachteten Sprache ist und die Variable n {\displaystyle n} darin nur frei vorkommt. Instanzen wie ϕ ( 0 ) {\displaystyle \phi (0)} stehen für ϕ [ 0 / n ] {\displaystyle \phi [0/n]} , also für eine Version der Formel ϕ {\displaystyle \phi } , in der alle Vorkommen von n {\displaystyle n} durch den links vom Schrägstrich stehenden Term ersetzt wurden; im Beispiel ϕ [ 0 / n ] {\displaystyle \phi [0/n]} ist das eine geeignete Darstellung von 0 {\displaystyle 0} . In der Sprache der Peano-Arithmetik ist beispielsweise für 0 {\displaystyle 0} ein Konstantensymbol vorhanden, für 1 {\displaystyle 1} , 2 {\displaystyle 2} usw. wird die Nachfolger-Funktion S {\displaystyle S} auf dem Konstantensymbol 0 {\displaystyle 0} iteriert, also 1 = S ( 0 ) {\displaystyle 1=S(0)} , 2 = S ( S ( 0 ) ) {\displaystyle 2=S(S(0))} usw. Weil unendlich viele Prämissen erst als herleitbar nachgewiesen sind, bevor auf die Schlussformel übergegangen werden darf, nennt man dieses Regelschema auch halbformal oder einen Halbformalismus. Die ω-Regel sollte nicht mit der Induktionsregel (genauer: dem Induktionsschema) verwechselt werden. Die Induktionsregel hat genau zwei Prämissen: ϕ ( 0 ) {\displaystyle \phi (0)} und ∀ n . ϕ ( n ) → ϕ ( S ( n ) ) {\displaystyle \forall n.\phi (n)\to \phi (S(n))} ; die ω-Regel hat jedoch unendlich viele Prämissen.