Conjunto exiguo

En el campo matemático de la topología general, un conjunto exiguo (también llamado conjunto escaso o conjunto de primera categoría) es un subconjunto de un espacio topológico que es pequeño o negligible en el sentido preciso que se detalla a continuación. Un conjunto que no es exiguo se denomina no exiguo, o de segunda categoría. Consúltense a continuación las definiciones de otros términos relacionados. Los subconjuntos exiguos de un espacio fijo forman un ideal σ de subconjuntos, es decir, cualquier subconjunto de un conjunto exiguo es exiguo, y la unión numerable de muchos conjuntos exiguos es exigua. Los conjuntos exiguos juegan un papel importante en la formulación de la noción de espacio de Baire y del teorema de categorías de Baire, que se utilizan en la demostración de varios resultados fundamentales del análisis funcional. En todo momento, X {\displaystyle X} será un espacio topológico. La definición de conjunto exiguo utiliza la noción de un subconjunto denso en ninguna parte de X {\displaystyle X} , es decir, un subconjunto de X {\displaystyle X} cuya clausura tiene un interior vacío (consúltese el artículo correspondiente para más detalles). Un subconjunto de X {\displaystyle X} se llama exiguo en X {\displaystyle X} , subconjunto exiguo de X {\displaystyle X} , o de primera categoría en X {\displaystyle X} si es una unión numerable de subconjuntos densos en ninguna parte de X {\displaystyle X} . En caso contrario, el subconjunto se llama no exiguo en X {\displaystyle X} , subconjunto no exiguo de X {\displaystyle X} , o de segunda categoría en X {\displaystyle X} . El calificativo "en X {\displaystyle X} " se puede omitir si el espacio entorno se fija y se entiende desde el contexto.