Continuidad uniforme

En análisis matemático una función f {\displaystyle f} se dice que es uniformemente continua si pequeños cambios en el valor de x {\displaystyle x} producen pequeños cambios en el valor de la función (continuidad) y el tamaño de los cambios de f ( x ) {\displaystyle f(x)} depende sólo del tamaño de los cambios en x pero no del valor de x donde se midan esos cambios (uniforme). Concretamente, significa que para cualquier error ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} deseado para los valores que toma la función, por pequeño que sea, existe una distancia δ > 0 {\displaystyle \delta >0} de forma que nos centremos en el punto x {\displaystyle x} del dominio donde nos centremos, si sólo consideramos puntos separados de x {\displaystyle x} tanto como δ {\displaystyle \delta } , sus imágenes tendrán un error respecto de f ( x ) {\displaystyle f(x)} menor que ε {\displaystyle \varepsilon } . La diferencia con la continuidad (no uniforme) es que en esta última la distancia δ {\displaystyle \delta } a cada punto necesaria para asegurar que las imágenes tengan un error menor que ε {\displaystyle \varepsilon } puede depender del punto del dominio considerado, mientras que para la continuidad uniforme debe existir un δ {\displaystyle \delta } que valga simultáneamente para todos los puntos del dominio. Por ejemplo, la función f ( x ) = 1 / x {\displaystyle f(x)=1/x} definida para x > 0 {\displaystyle x>0} de la imagen de abajo a la derecha no es uniformemente continua (aunque sí que es continua). Para ver esto, nótese que para conseguir un mismo error en las imágenes de la función, para puntos cercanos a 0 debemos restringir los puntos considerados a distancias infinitamente pequeñas; no existe pues una misma distancia δ {\displaystyle \delta } que sirva para todos:...