Doble factorial

En matemáticas, el producto de todos los enteros desde el 1 hasta un entero no-negativo n que tiene la misma paridad (pares o impares) que n se llama doble factorial o semifactorial de n y se representa como n!!. Se define por: (Una consecuencia de esta definición es que 0!! = 1, como un producto vacío). Entonces, para n par el doble factorial es: Y para n impar es: Por ejemplo, 9!!=9·7·5·3·1=945. El doble factorial no debe confundirse con la función factorial iterada dos veces, que es escrita como (n!)! y no n!! La secuencia de los dobles factoriales para los pares n=0, 2, 4, 6, 8,... empieza así: 1, 2, 8, 48, 384, 3840, 46080, 645120,... (secuencia A000165 en el OEIS) La secuencia de los dobles factoriales para los impares n=1, 3, 5, 7, 9,... empieza así: 1, 3, 15, 105, 945, 10395, 135135,... (secuencia A001147 en el OEIS) Merserve (1948), (posiblemente la más antigua publicación que usa la notación del doble factorial) formula que el doble factorial fue introducido originalmente para simplificar la expresión de algunas integrales trigonométricas surgiendo en la derivación del producto de Wallis. Los factoriales dobles también surgen al expresar el volumen de una hiperesfera y tienen muchas aplicaciones en las combinatoria enumerativa. Los factoriales dobles aparecen en la distribución t de Student (1908), de la cual Gosset pensó que no se usara la notación de la doble exclamación. El término factorial impar es utilizado en ocasiones para denominar el doble factorial de un número impar.