Doble factorial

En matemáticas, el producto de todos los enteros desde el 1 hasta un entero no-negativo n que tiene la misma paridad (pares o impares) que n se llama doble factorial o semifactorial de n y se representa como n!!. Se define por:​ n ! ! = ∏ k = 0 ⌈ n 2 ⌉ − 1 ( n − 2 k ) = n ( n − 2 ) ( n − 4 ) ⋯ {\displaystyle n!!=\prod _{k=0}^{\left\lceil {\frac {n}{2}}\right\rceil -1}(n-2k)=n(n-2)(n-4)\cdots } (Una consecuencia de esta definición es que 0!! = 1, como un producto vacío). Entonces, para n par el doble factorial es: n ! ! = ∏ k = 1 n 2 ( 2 k ) = n ( n − 2 ) ( n − 4 ) ⋯ 4 ⋅ 2 , {\displaystyle n!!=\prod _{k=1}^{\frac {n}{2}}(2k)=n(n-2)(n-4)\cdots 4\cdot 2\,,} Y para n impar es: n ! ! = ∏ k = 1 n + 1 2 ( 2 k − 1 ) = n ( n − 2 ) ( n − 4 ) ⋯ 3 ⋅ 1 . {\displaystyle n!!=\prod _{k=1}^{\frac {n+1}{2}}(2k-1)=n(n-2)(n-4)\cdots 3\cdot 1\,.} Por ejemplo, 9!!=9·7·5·3·1=945. El doble factorial no debe confundirse con la función factorial iterada dos veces, que es escrita como (n!)! y no n!! La secuencia de los dobles factoriales para los pares n=0, 2, 4, 6, 8,... empieza así: 1, 2, 8, 48, 384, 3840, 46080, 645120,... (secuencia A000165 en el OEIS) La secuencia de los dobles factoriales para los impares n=1, 3, 5, 7, 9,... empieza así: 1, 3, 15, 105, 945, 10395, 135135,... (secuencia A001147 en el OEIS) Merserve (1948),​ (posiblemente la más antigua publicación que usa la notación del doble factorial) formula que el doble factorial fue introducido originalmente para simplificar la expresión de algunas integrales trigonométricas surgiendo en...