Funcional de Minkowski

En matemáticas, en el campo del análisis funcional, un funcional de Minkowski (en referencia al matemático alemán Hermann Minkowski) o función de calibre es una aplicación que establece una noción de distancia en un espacio lineal. Si K {\displaystyle K} es un subconjunto de un espacio vectorial real o complejo X {\displaystyle X} , entonces el funcional de Minkowski o calibre de K {\displaystyle K} se caracteriza como la función p K : X → [ 0 , ∞ ] {\displaystyle p_{K}:X\to [0,\infty ]} , sobre la recta real extendida, definida por p K ( x ) := inf { r ∈ R : r > 0 y x ∈ r K } para todo x ∈ X {\displaystyle p_{K}(x):=\inf\{r\in \mathbb {R} :r>0{\text{ y }}x\in rK\}\quad {\text{ para todo }}x\in X} , donde el ínfimo del conjunto vacío se define como el infinito positivo ∞ {\displaystyle \,\infty \,} , (que no es un número real, por lo que p K ( x ) {\displaystyle p_{K}(x)} no tendría entonces un valor real). A menudo se supone (o se elige) que el conjunto K {\displaystyle K} tenga algunas propiedades determinadas, como ser un disco absorbente en X {\displaystyle X} , lo que garantiza que p K {\displaystyle p_{K}} será una seminorma de valor real en X {\displaystyle X} . De hecho, cada seminorma p {\displaystyle p} en X {\displaystyle X} es igual al funcional de Minkowski (es decir, p = p K {\displaystyle p=p_{K}} ) de cualquier subconjunto K {\displaystyle K} de X {\displaystyle X} que satisfaga que { x ∈ X : p ( x ) < 1 } ⊆ K ⊆ { x ∈ X : p ( x ) ≤ 1 } {\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}\subseteq K\subseteq \{x\in X:p(x)\leq 1\}} (donde los tres conjuntos son necesariamente absorbentes en X {\displaystyle...