Grupo circular

El grupo circular, representado por S 1 {\displaystyle S^{1}} , es el grupo multiplicativo formado por los números complejos ubicados sobre la circunferencia unidad S 1 {\displaystyle S^{1}} del plano complejo, es decir, los números complejos cuyo valor absoluto es 1. En símbolos, S 1 = { z ∈ C : | z | = 1 } {\displaystyle S^{1}=\{z\in \mathbb {C} :\vert z\vert =1\}} , con la operación de grupo la multiplicación de números complejos. Puesto que el producto de números complejos es conmutativo, se trata de un grupo abeliano. Todo elemento de S 1 {\displaystyle S^{1}} es de la forma e i θ {\displaystyle e^{i\theta }} , con e la base del logaritmo natural, i la unidad imaginaria y θ un número real cualquiera. Esta caracterización de los elementos de S 1 {\displaystyle S^{1}} hace manifiesta la interpretación geométrica de su producto, pues e i θ 1 ⋅ e i θ 2 = e i ( θ 1 + θ 2 ) {\displaystyle e^{i\theta _{1}}\cdot e^{i\theta _{2}}=e^{i(\theta _{1}+\theta _{2})}} , lo que muestra que el producto de elementos de S 1 {\displaystyle S^{1}} equivale a una rotación respecto del origen del plano complejo. El grupo circular es un subgrupo del grupo multiplicativo de los números complejos no nulos, C ∗ = { z ∈ C : z ≠ 0 } {\displaystyle \mathbb {C} ^{*}=\{z\in \mathbb {C} :z\neq 0\}} . Un resultado interesante es que, de hecho, los grupos multiplicativos S 1 {\displaystyle S^{1}} y C ∗ {\displaystyle \mathbb {C} ^{*}} son isomorfos. Una forma equivalente de definir al grupo circular es como el grupo multiplicativo de las matrices unitarias complejas de 1 × 1 {\displaystyle 1\times 1} , representado por U ( 1 ) {\displaystyle \mathrm {U} (1)} . Es un hecho básico que este grupo puede ser representado linealmente mediante matrices ortogonales: [ cos ⁡ t − sen ⁡ t sen ⁡ t cos ⁡ t ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos t&-\operatorname {sen} t\\\operatorname {sen} t&\cos t\end{bmatrix}}} con estos objetos el conjunto recibe el símbolo U ( 1 ) {\displaystyle \mathrm {U} (1)\,} también conocido como grupo especial unitario, matrices sobre los complejos de determinante igual a 1 y cuya matriz inversa (inverso multiplicativo) es su transpuesta. Esto es por ser matrices de 1 × 1 {\displaystyle 1\times 1} de entrada compleja aquí el sentido de la equivalencia es de isomorfismo de grupos continuos.