Approximation diophantienne

En théorie des nombres, l'approximation diophantienne, qui porte le nom de Diophante d'Alexandrie, traite de l'approximation des nombres réels par des nombres rationnels. Il est possible d'approcher tout nombre réel par un rationnel avec une précision arbitrairement grande (cette propriété s'appelle la densité de l'ensemble des rationnels dans l'ensemble des réels, muni de la distance usuelle). La valeur absolue de la différence entre le nombre réel à approcher et le nombre rationnel qui l'approche fournit une mesure brute de la précision de l'approximation. Une mesure plus subtile tient compte de la taille du dénominateur. (Approximation rationnelle d'un seul réel) Du fait de la densité de Q {\displaystyle \mathbb {Q} } (ensemble des rationnels) dans R {\displaystyle \mathbb {R} } (ensemble des réels), tout réel peut être approché par des rationnels aussi près qu'on le souhaite au sens où : Toute la subtilité de la démarche réside alors dans l'idée qu’il ne s’agit pas seulement d’effleurer au plus près la valeur d’un réel donné α par une fraction p/q sans aucune autre considération, mais bien d'obtenir un compromis, le meilleur qui soit, entre : Afin de conserver un certain contrôle sur l’approximation, il semble en effet naturel d’affirmer qu’un réel est bien approché par la fraction p/q, si l’écart entre ce réel et p/q est petit sans que q ne soit trop grand : ce qui revient à chercher, en usant des termes précédemment employés, le meilleur « rapport qualité / prix » possible. Il paraît alors raisonnable d'essayer de majorer la distance de p/q à α par une fraction dont le dénominateur est une puissance de q, c'est-à-dire de la forme : C/q. On voit ici apparaître deux paramètres : une constante C, dite constante d'approximation, et une puissance s, appelée ordre d'approximation, que la théorie de l'approximation diophantienne a cherché à optimiser au cours des siècles. On dit qu'un réel α est rationnellement approchable à l'ordre s > 0 s'il existe K > 0 tel que l'inéquation : | α − p q | < K q s {\displaystyle \left\vert \alpha -{\frac {p}{q}}\right\vert <{\frac {K}{q^{s}}}} ait une infinité de solutions. On définit alors la mesure d'irrationalité μ(α) d'un irrationnel α comme la valeur optimale de l'ordre d'approximation de α : Pour un irrationnel arbitraire α, un théorème de Dirichlet fournit un ordre d'approximation minimal s = 2. Autrement dit, il affirme que la mesure d'irrationalité d'un irrationnel quelconque est supérieure ou égale à 2.