Codimension

La codimension est une notion de géométrie, rencontrée en algèbre linéaire, en géométrie différentielle et en géométrie algébrique. C'est une mesure de la différence de tailles entre un espace et un sous-espace. La codimension dans un espace vectoriel E d'un sous-espace vectoriel F est la dimension de l'espace vectoriel quotient E/F : Cette codimension est aussi égale à la dimension de n'importe quel supplémentaire de F dans E car tous sont isomorphes à E/F. Il résulte de la définition que F = E si et seulement si codimE(F) = 0. D'après la formule de Grassmann, si E = F⊕G, alors dim(E) = dim(F) + dim(G). En particulier : Théorème — Lorsque l'espace E est de dimension finie, tous les sous-espaces vectoriels de E sont de codimension finie dans E et de dimension finie. Si F est l'un d'entre eux : Le rang d'une application linéaire u de E dans F est la dimension de son image im(u). Or d'après le théorème de factorisation, cette image est isomorphe à l'espace quotient E/ker(u) (par l'application qui à un élément [x] = x + ker(u) du quotient associe l'élément u(x) de im(u)), donc aussi à n'importe quel supplémentaire de ker(u) dans E. Ainsi : Théorème — Le rang de u ∈ L ⁡ ( E , F ) {\displaystyle u\in \operatorname {L} (E,F)} est égal à la codimension dans E du noyau de u : Le rang de u est fini notamment lorsque E ou F est de dimension finie. Si E est dimension finie, l'égalité ci-dessus peut aussi se déduire du théorème du rang, qui assure que dans ce cas particulier, Une variété de dimension n est un espace topologique M localement homéomorphe à un ouvert de R. La définition d'une sous-variété généralise celle de sous-espace vectoriel. La codimension d'une sous-variété N de M est définie comme N étant elle-même une variété.