Conjecture jacobienne

En mathématiques, et plus précisément en géométrie algébrique, la conjecture jacobienne (ou conjecture du jacobien) est une conjecture réfutée concernant les polynômes à plusieurs variables. Elle énonce que si une fonction polynomiale d'un espace de dimension N {\displaystyle N} dans lui-même a un jacobien constant et non nul, alors cette fonction possède une fonction inverse polynomiale. Elle fut proposée en 1939 par Ott-Heinrich Keller (en), et Shreeram Abhyankar lui donna par la suite son nom actuel, la popularisant comme un exemple d'une question de géométrie algébrique ne demandant que peu de connaissances pour être énoncée. La conjecture jacobienne est également célèbre pour le grand nombre de tentatives de preuves qu'elle a suscitées, et qui contenaient des erreurs subtiles. C'est le seizième problème de Smale. Le 19 juillet 2026, Levent Alpöge (en), mathématicien et employé d'Anthropic, présente un contre-exemple explicite dans le cas N = 3 {\displaystyle N=3} , découvert à l'aide du grand modèle de langue Claude Fable 5 d'Anthropic, qui infirme la conjecture pour N ≥ 3 {\displaystyle N\geq 3} . Pour le cas particulier N = 2 {\displaystyle N=2} , la conjecture demeure un problème non résolu à la date de juillet 2026, tandis que pour N = 1 {\displaystyle N=1} , elle peut être démontrée de manière triviale.