Cube (algèbre)

En algèbre, un cube est la puissance troisième d'un nombre. C'est-à-dire que le cube d'un nombre correspond à la valeur obtenue en multipliant ce nombre par lui-même, puis en multipliant le résultat par le nombre initial. Exemples : 2 3 = 2 × 2 × 2 = 8 {\displaystyle 2^{3}=2\times 2\times 2=8} ; ( − 5 ) 3 = − 5 × ( − 5 ) × ( − 5 ) = − 125 {\displaystyle (-5)^{3}=-5\times (-5)\times (-5)=-125} ; 1 3 = 1 × 1 × 1 = 1 {\displaystyle 1^{3}=1\times 1\times 1=1} ; 10 3 = 10 × 10 × 10 = 1 000 {\displaystyle 10^{3}=10\times 10\times 10=1\,000} . Le terme de cube s'est imposé à une époque où la logique de l'algèbre géométrique était omniprésente. Un nombre était toujours positif et correspondait à la longueur d'un segment. Le cube de ce nombre était vu comme le volume d'un cube de côté la longueur initiale. De manière plus générale, tout être mathématique sur lequel il existe une multiplication associative possède un cube. Ainsi, on parle de cube d'une matrice carrée ou encore d'une fonction. Exemples : M = ( a b c d ) ; M 3 = M × M × M = ( a 3 + 2 a b c + b c d a 2 b + a b d + b 2 d + b d 2 a 2 c + a d c + b c 2 + c d 2 a b c + 2 b c d + d 3 ) {\displaystyle \mathrm {M} ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\text{ ; }}\mathrm {M} ^{3}=\mathrm {M} \times \mathrm {M} \times \mathrm {M} ={\begin{pmatrix}a^{3}+2abc+bcd&a^{2}b+abd+b^{2}d+bd^{2}\\a^{2}c+adc+bc^{2}+cd^{2}&abc+2bcd+d^{3}\end{pmatrix}}} ; sin 3 ⁡ ( π / 4 ) = ( sin ⁡ ( π / 4 ) ) 3 = 1 2 2 {\displaystyle...