Dilogarithme

Concept définissant certaines catégories de fonctions spéciales

En mathématiques, la fonction de Spence, ou dilogarithme, notée Li2, est un cas particulier de polylogarithme. Deux fonctions spéciales sont appelées fonction de Spence : le dilogarithme lui-même : Li 2 ⁡ ( z ) = − ∫ 0 z ln ⁡ ( 1 − u ) u d u = ∫ 1 1 − z ln ⁡ t 1 − t d t , z ∈ C {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)=-\int _{0}^{z}{\ln(1-u) \over u}\,\mathrm {d} u=\int _{1}^{1-z}{\frac {\ln t}{1-t}}\mathrm {d} t,\quad z\in \mathbb {C} } ; sa réflexion.

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Dilogarithme

Concept définissant certaines catégories de fonctions spéciales

En mathématiques, la fonction de Spence, ou dilogarithme, notée Li2, est un cas particulier de polylogarithme. Deux fonctions spéciales sont appelées fonction de Spence : le dilogarithme lui-même : Li 2 ⁡ ( z ) = − ∫ 0 z ln ⁡ ( 1 − u ) u d u = ∫ 1 1 − z ln ⁡ t 1 − t d t , z ∈ C {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)=-\int _{0}^{z}{\ln(1-u) \over u}\,\mathrm {d} u=\int _{1}^{1-z}{\frac {\ln t}{1-t}}\mathrm {d} t,\quad z\in \mathbb {C} } ; sa réflexion.

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En mathématiques, la fonction de Spence, ou dilogarithme, notée Li2, est un cas particulier de polylogarithme. Deux fonctions spéciales sont appelées fonction de Spence : le dilogarithme lui-même : Li 2 ⁡ ( z ) = − ∫ 0 z ln ⁡ ( 1 − u ) u d u = ∫ 1 1 − z ln ⁡ t 1 − t d t , z ∈ C {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)=-\int _{0}^{z}{\ln(1-u) \over u}\,\mathrm {d} u=\int _{1}^{1-z}{\frac {\ln t}{1-t}}\mathrm {d} t,\quad z\in \mathbb {C} } ; sa réflexion. Pour | z | < 1 {\displaystyle |z|<1} , une définition à l'aide d'une série est également possible (la définition intégrale constituant son prolongement analytique dans le plan complexe) : Li 2 ⁡ ( z ) = ∑ k = 1 ∞ z k k 2 {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{z^{k} \over k^{2}}} . William Spence (1777-1815), dont on a donné le nom à cette fonction, est un mathématicien écossais. Il a été condisciple de John Galt, qui a par la suite écrit un essai biographique sur Spence.

Texte : Wikipédia, CC BY-SA 4.0. · Image : Geek3 (CC BY 3.0) ·

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