Fonction de Thomae

La fonction de Thomae (parfois appelée fonction pop-corn) constitue un exemple de fonction réelle à la fois continue en tout point d'une partie dense (l'ensemble des irrationnels) et discontinue sur une autre partie dense (l'ensemble des rationnels). La fonction de Thomae T : R → R {\displaystyle T\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } est définie par T ( x ) = { 0 si x ∉ Q , 1 si x = 0 , 1 / q si x = p / q , f r a c t i o n i r r e ´ d u c t i b l e n o n n u l l e {\displaystyle T(x)={\begin{cases}0&{\text{ si }}x\notin \mathbb {Q} ,\\1&{\text{ si }}x=0,\\1/q&{\text{ si }}x=p/q,\mathrm {~fraction~irr{\acute {e}}ductible~non~nulle} \end{cases}}} (une fraction irréductible est un quotient p/q de deux entiers premiers entre eux, avec q > 0). La fonction de Thomae est une variante de la fonction de Dirichlet. Elle est nommée en l'honneur du mathématicien Carl Johannes Thomae qui l'a définie pour la première fois en 1875.