Fonction inverse

En mathématiques, la fonction inverse est la fonction qui à tout réel x {\displaystyle x} non nul associe son inverse, noté 1 x {\displaystyle {\frac {1}{x}}} . Elle se note de la manière suivante : Cette fonction est strictement décroissante sur l'intervalle ] − ∞ , 0 [ {\displaystyle ]-\infty ,0[} des réels strictement négatifs, puis strictement décroissante sur l'intervalle ] 0 , + ∞ [ {\displaystyle ]0,+\infty [} des réels strictement positifs, avec 0 comme « valeur interdite » (pôle). Mais elle n'est pas strictement décroissante sur R ∗ {\displaystyle \mathbb {R} ^{*}} car si a < 0 < b {\displaystyle a<0<b} , on conserve l'inégalité 1 a < 0 < 1 b {\displaystyle {\frac {1}{a}}<0<{\frac {1}{b}}} . La fonction inverse ne s'annule pas et n'admet pas de maximum ou minimum sur R ∗ {\displaystyle \mathbb {R} ^{*}} , ni même sur ] − ∞ , 0 [ {\displaystyle ]-\infty ,0[} ou sur ] 0 , + ∞ [ {\displaystyle ]0,+\infty [} . Elle a pour limite 0 en + ∞ {\displaystyle +\infty } et en − ∞ {\displaystyle -\infty } . Cette fonction permet donc de modéliser un certain nombre de comportements qui décroissent mais qui présentent une « borne inférieure » (les fonctions ne tendent pas vers − ∞ {\displaystyle -\infty } ), comme la gravitation et la force électrostatique qui sont en 1 r 2 {\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}} . En 0, sa limite à gauche vaut − ∞ {\displaystyle -\infty } et à droite, + ∞ {\displaystyle +\infty } . La représentation graphique de la fonction inverse est une hyperbole. L'hyperbole d'équation y = 1 x {\displaystyle y={\frac {1}{x}}} admet deux asymptotes : une horizontale (l'axe des abscisses, d'équation y = 0 {\displaystyle y=0} ) et une verticale (l'axe des ordonnées, d'équation x = 0 {\displaystyle x=0} ). Ces deux asymptotes étant (dans un repère orthonormal) perpendiculaires, l'hyperbole est dite équilatère (son excentricité vaut 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ).