Image d'une application

On appelle image d'une application f (d'un ensemble A vers un ensemble B) l'image directe par f de l'ensemble de départ A. C'est donc le sous-ensemble de B contenant les images de tous les éléments de A, et uniquement ces images. On le note Im(f). Im ⁡ ( f ) = { y ∈ B ∣ ∃ x ∈ A f ( x ) = y } = { f ( x ) ∣ x ∈ A } = f ( A ) {\displaystyle \operatorname {Im} (f)=\{y\in B\mid \exists x\in A\quad f(x)=y\}=\{f(x)\mid x\in A\}=f(A)} . Exemple : « L'image de la fonction sinus est le segment [–1, 1]. » Une application est surjective si et seulement si son image coïncide avec son ensemble d'arrivée. Une application est dite injective si tout élément de son ensemble d'arrivée a au plus un antécédent par f. Une application est dite bijective si elle est à la fois surjective et injective, ce qui signifie que chaque élément de l'ensemble d'arrivée a un antécédent et que celui-ci est unique. On peut aussi parler d'image réciproque d'une fonction qui est définie par: Im ⁡ ( f − 1 ) = { x ∈ A ∣ f ( x ) ∈ B } = f − 1 ( B ) {\displaystyle \operatorname {Im} (f^{-1})=\{x\in A\mid f(x)\in B\}=f^{-1}(B)}