Intervalle d'espace-temps

Quand le carré de l'intervalle d'espace-temps entre deux événements est positif ou nul (le terme carré n'est ici employé que de manière formelle), alors les deux événements peuvent être connectés par un lien de cause à effet, et l'intervalle d'espace-temps (défini en prenant la racine carrée) permet de définir le temps propre entre ces deux événements. Quand le carré de l'intervalle d'espace-temps entre deux événements est strictement négatif, alors aucun des deux ne peut être la cause de l'autre, et l'intervalle d'espace temps n'est pas défini (ou au mieux comme étant un nombre imaginaire), mais en prenant la racine carrée de l'opposé du carré on obtient la distance propre entre ces événements. Le carré de l'intervalle d'espace-temps sert de définition de la pseudo-métrique de l'espace de Minkowski en relativité restreinte, ainsi que de la pseudo-métrique infinitésimale dans l'espace courbe de la relativité générale. Dans l'espace euclidien en trois dimensions, le carré de la distance Δ l {\displaystyle \Delta l} entre deux points A {\displaystyle A} et B {\displaystyle B} de coordonnées ( x A , y A , z A ) {\displaystyle \left(x_{A},\,y_{A},\,z_{A}\right)} et ( x B , y B , z B ) {\displaystyle \left(x_{B},\,y_{B},\,z_{B}\right)} par rapport à un repère cartésien orthonormé s'exprime sous la forme : ce que l'on écrit couramment de façon plus condensée Il est évident qu'en physique classique, cette grandeur est invariante par changement de référentiel. Mais ce n'est plus le cas en physique relativiste. Dans la géométrie de l'espace-temps de la relativité restreinte, on écrit le « carré de l'intervalle d'espace-temps », noté Δ s 2 {\displaystyle \Delta s^{2}} , entre deux événements A {\displaystyle A} et B {\displaystyle B} de coordonnées ( t A , x A , y A , z A ) {\displaystyle \left(t_{A},\,x_{A},\,y_{A},\,z_{A}\right)} et ( t B , x B , y B , z B ) {\displaystyle \left(t_{B},\,x_{B},\,y_{B},\,z_{B}\right)} dans un espace-temps à quatre dimensions (une de temps, soit t, et trois d'espace) sous la forme ou expression dans laquelle le facteur c 2 {\displaystyle c^{2}} (vitesse de la lumière au carré) s'impose par le biais des transformations de Lorentz ou des principes de la relativité restreinte, suivant la méthode utilisée pour justifier son invariance par changement de référentiel inertiel. La pseudo-métrique, notée Δ s {\displaystyle \ \Delta s} , est définie par Δ s 2 = − c 2 ( Δ t ) 2 + ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 + ( Δ z ) 2 {\displaystyle \ \Delta s^{2}=-c^{2}(\Delta t)^{2}+(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}} ou Δ s 2 = c 2 ( Δ t ) 2 − ( Δ x ) 2 − ( Δ y ) 2 − ( Δ z ) 2 {\displaystyle \ \Delta s^{2}=c^{2}(\Delta t)^{2}-(\Delta x)^{2}-(\Delta y)^{2}-(\Delta z)^{2}} suivant la convention de signes ( − ; + ; + ; + ) {\displaystyle (-;+;+;+)} ou ( + ; − ; − ; − ) {\displaystyle \ (+;-;-;-)} choisie. L'invariance, par changement de référentiel inertiel, du carré de l'intervalle d'espace-temps est une propriété centrale de la relativité restreinte.