Inverse modulaire

En mathématiques et plus précisément en arithmétique modulaire, l'inverse modulaire d'un entier relatif a {\displaystyle a} pour la multiplication modulo n {\displaystyle n} est un entier u {\displaystyle u} satisfaisant l'équation : a u ≡ 1 ( mod n ) . {\displaystyle au\equiv 1{\pmod {n}}.} En d'autres termes, il s'agit de l'inverse dans l'anneau des entiers modulo n, noté ℤ/nℤ ou ℤn. Une fois ainsi défini, u {\displaystyle u} peut être noté a − 1 {\displaystyle a^{-1}} , étant entendu implicitement que l'inversion est modulaire et se fait modulo n {\displaystyle n} . La définition est donc équivalente à : u ≡ a − 1 ( mod n ) . {\displaystyle u\equiv a^{-1}{\pmod {n}}.} L'inverse de a modulo n {\displaystyle n} existe si et seulement si a {\displaystyle a} et n {\displaystyle n} sont premiers entre eux, (c.-à-d. si PGCD(a, n) = 1). Si cet inverse existe, l'opération de division par a {\displaystyle a} modulo n {\displaystyle n} équivaut à la multiplication par son inverse.