Lemme de l'application continue

En mathématiques, le lemme de l'application continue (ou LAC), également connu sous son appellation anglaise Continuous Mapping Theorem (ou CMT), est un résultat fondamental en théorie des probabilités et en statistiques asymptotiques. Il est particulièrement utile dans l’étude des différents types de convergences des variables aléatoires, en permettant d'étendre aisément la convergence d'une suite de variables à leurs transformations par une application continue. Soient ( X n ) {\displaystyle (X_{n})} une suite de variables aléatoires définies sur un espace probabilisé ( Ω , F , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )} , X {\displaystyle X} une variable aléatoire et g {\displaystyle g} une application continue sur le support de la loi de X {\displaystyle X} . Alors on a : Remarque importante : La réciproque est fausse en général. Le fait que g ( X n ) {\displaystyle g(X_{n})} converge vers g ( X ) {\displaystyle g(X)} (quel que soit le mode de convergence) n’implique pas nécessairement que ( X n ) {\displaystyle (X_{n})} converge vers X {\displaystyle X} . Ce résultat est crucial puisqu'il établit que toute convergence d'une suite de variables aléatoires (en loi, en probabilité ou presque sûre) est préservée par l'application d'une transformation continue. En pratique, cela simplifie considérablement l’étude des comportements asymptotiques dans des contextes variés tels que la statistique inférentielle (limites asymptotiques d'estimateurs et de tests statistiques), la théorie des valeurs extrêmes, ou encore l’analyse fonctionnelle appliquée aux processus stochastiques. En effet, si le lemme est performant pour les convergences en loi, en probabilité et presque sûre, il s'avère être faux pour la convergence dans L 2 {\displaystyle L^{2}} sans hypothèse supplémentaire sur g {\displaystyle g} comme sa continuité uniforme, son caractère borné ou son caractère lipschitzien. Un contre-exemple possible est le suivant : On a bien X n → L 2 X = 0 {\displaystyle X_{n}\xrightarrow {L^{2}} X=0} , en revanche : g ( X n ) ⧸ → L 2 g ( X ) = X 2 = 0 {\displaystyle g(X_{n})\not \xrightarrow {L^{2}} g(X)=X^{2}=0} . Dans cet exemple, on a toutefois bien convergence en probabilités, presque-sûre, et en loi de ( X n ) {\displaystyle (X_{n})} et de ( X n 2 ) {\displaystyle (X_{n}^{2})} vers 0.