Mandelbulb

Un Mandelbulb résulte de la tentative de créer un ensemble de Mandelbrot en trois dimensions, sans être une fractale comme ce dernier. La possibilité d'obtenir un ensemble de Mandelbrot en trois dimensions reste incertaine. L'idée de sa réalisation occupe les esprits depuis 2007, mais fin 2009, Daniel White et Paul Nylander ont construit un Mandelbulb, un analogue en dimension 3 de l'ensemble de Mandelbrot, à l'aide d'une algèbre de nombres hypercomplexes et de transformations écrites en coordonnées sphériques. White et Nylander donnent la formule suivante : ⟨ x , y , z ⟩ n = r n ⟨ cos ⁡ ( n θ ) cos ⁡ ( n ϕ ) , sin ⁡ ( n θ ) cos ⁡ ( n ϕ ) , sin ⁡ ( n ϕ ) ⟩ {\displaystyle \langle x,y,z\rangle ^{n}=r^{n}\langle \cos(n\theta )\cos(n\phi ),\sin(n\theta )\cos(n\phi ),\sin(n\phi )\rangle } où { r = x 2 + y 2 + z 2 θ = arctan ⁡ ( y / x ) e t ϕ = arctan ⁡ ( z / x 2 + y 2 ) = arcsin ⁡ ( z / r ) {\displaystyle {\begin{cases}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\theta &=\arctan(y/x)\\{\rm {et\ }}\phi &=\arctan(z/{\sqrt {x^{2}+y^{2}}})=\arcsin(z/r)\end{cases}}} pour la nième puissance du nombre hypercomplexe 3D. Ils utilisent alors, de même que pour le plan de l'ensemble de Mandelbrot, les domaines de convergences des suites obtenues par itération de z ↦ z n + c {\displaystyle z\mapsto z^{n}+c} où z et c sont des nombres hypercomplexes dans un espace de dimension 3 et z ↦ z n {\displaystyle z\mapsto z^{n}} l'application définie ci-dessusLe Mandelbulb est ensuite défini comme l'ensemble des c en ℝ3 pour lesquels l'orbite de ⟨ 0 , 0 , 0 ⟩ {\displaystyle \langle 0,0,0\rangle } sous l'itération v ↦ v n + c {\displaystyle {\mathbf {v} }\mapsto {\mathbf {v} }^{n}+{\mathbf {c}...