Mesure de Dirac

Une mesure de Dirac (ou masse de Dirac) est une mesure supportée par un singleton et de masse unitaire. Soient un espace mesurable ( X , A ) {\displaystyle (X,{\mathcal {A}})} et a ∈ X {\displaystyle a\in X} . On appelle mesure de Dirac au point a {\displaystyle a} , et l'on note δ a {\displaystyle \delta _{a}} , la mesure sur ( X , A ) {\displaystyle (X,{\mathcal {A}})} définie par : ∀ A ∈ A , δ a ( A ) = 1 A ( a ) = { 1 si a ∈ A 0 si a ∉ A {\displaystyle \forall A\in {\mathcal {A}},\ \delta _{a}(A)=1_{A}(a)={\begin{cases}1&{\mbox{si }}a\in A\\0&{\mbox{si }}a\notin A\end{cases}}} où 1 A {\displaystyle 1_{A}} désigne la fonction indicatrice de A {\displaystyle A} . Le support de δ a {\displaystyle \delta _{a}} est réduit au singleton { a } {\displaystyle \{a\}} . δ a ( X ) = 1 {\displaystyle \delta _{a}(X)=1} donc cette mesure est une probabilité sur ( X , A ) {\displaystyle (X,{\mathcal {A}})} .