Nombre d'or

Le nombre d'or (ou section dorée, proportion dorée, ou encore divine proportion) est une proportion définie initialement en géométrie comme l'unique rapport a/b entre deux longueurs a et b telles que le rapport de la somme (a + b) des deux longueurs sur la plus grande (a) soit égal à celui de la plus grande (a) sur la plus petite (b), c'est-à-dire lorsque : a + b a = a b . {\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}.} Le découpage d'un segment en deux longueurs vérifiant cette propriété est appelé par Euclide découpage en « extrême et moyenne raison ». Le nombre d'or est maintenant souvent désigné par la lettre φ {\displaystyle \varphi } (phi), et il est lié à l'angle d'or. Ce nombre irrationnel est défini par la relation φ 2 = φ + 1 , φ > 0 {\displaystyle \varphi ^{2}=\varphi +1,\varphi >0} ; Il vaut : φ = 1 + 5 2 ≈ 1,618 0339887 {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1{,}6180339887} , A001622. Il intervient dans la construction du pentagone régulier. Ses propriétés algébriques le lient à la suite de Fibonacci et au corps quadratique ℚ(√5). Le nombre d'or s'observe aussi dans la nature (quelques phyllotaxies, par exemple chez les capitules du tournesol) ainsi que dans le pavage de Penrose et certains quasi-cristaux ; et également dans quelques œuvres et monuments (architecture de Le Corbusier, musique de Xenakis, peinture de Dalí). L'histoire de cette proportion commence à une période de l'Antiquité qui n'est pas connue avec certitude ; la première mention connue de la division en extrême et moyenne raison apparaît dans les Éléments d'Euclide. À la Renaissance, Luca Pacioli, un moine franciscain italien, la met à l'honneur dans un manuel de mathématiques et la surnomme « divine proportion » en l'associant à un idéal envoyé du ciel. Cette...