Plan en blocs

En mathématiques combinatoires, un plan en blocs est un ensemble (dont les éléments sont appelés des points) muni d'une famille de parties appelées des blocs, satisfaisant des propriétés issues nombreux domaines, notamment celui des plans d'expériences, de la géométrie finie, de la chimie physique, des tests de logiciels, de la cryptographie et de la géométrie algébrique. De nombreuses variantes de ces plans ont été examinées, mais les plus étudiés sont les plans en blocs incomplets équilibrés, abrégé en BIBD pour balanced incomplete block designs, ou parfois 2-plans, qui sont historiquement liés à des problèmes statistiques dans des plans d'expériences. Un plan en blocs dans lequel tous les blocs ont la même taille est dit uniforme. Les plans décrits dans cette page sont tous uniformes. Les plans équilibrés par paires sont des exemples de plans en blocs qui ne sont pas nécessairement uniformes. La notion de plan en blocs est équivalente à celle d'hypergraphe, où les blocs sont alors appelés les arêtes, et les points les sommets de l'hypergraphe. Étant donné un ensemble fini X {\displaystyle X} (dont les éléments sont appelés points) et des entiers k , r , λ ⩾ 1 {\displaystyle k,r,\lambda \geqslant 1} , on définit un plan en blocs incomplet équilibré ou 2-plan (ou BIBD) comme une famille de parties à k {\displaystyle k} éléments de X {\displaystyle X} , appelées les blocs, telles que tout point x {\displaystyle x} de X {\displaystyle X} appartient à r {\displaystyle r} blocs, et que toute paire de points distincts x {\displaystyle x} et y {\displaystyle y} de X {\displaystyle X} est incluse dans λ {\displaystyle \lambda } blocs. Le terme famille dans la définition ci-dessus peut être remplacé par ensemble s'il n'y a pas de répétition de blocs. Les plans sans blocs répétés sont dits simples. L'entier v {\displaystyle v} (le nombre de points, c'est-à-dire le nombre d'éléments de X {\displaystyle X} ) , l'entier b {\displaystyle b} (le nombre de blocs), et les entiers k , r , λ {\displaystyle k,r,\lambda } sont les paramètres du plan.