Point fixe

En mathématiques, pour une application f {\displaystyle f} d'un ensemble E dans lui-même, un élément x {\displaystyle x} de E est un point fixe de f {\displaystyle f} si f ( x ) = x {\displaystyle f(x)=x} . Exemples : dans le plan, la symétrie par rapport à un point A admet un unique point fixe : A ; l'application inverse (définie sur l'ensemble des réels non nuls) admet deux points fixes : –1 et 1, solutions de l'équation 1 x = x {\displaystyle {\frac {1}{x}}=x} équivalente à l'équation x 2 = 1 {\displaystyle x^{2}=1} . Graphiquement, les points fixes d'une fonction f {\displaystyle f} (d'une variable réelle, à valeurs réelles) sont les points d'intersection de la droite d'équation y = x {\displaystyle y=x} avec la courbe d'équation y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} . Toutes les fonctions n'ont pas nécessairement de point fixe ; par exemple, la fonction x ↦ x + 1 n'en possède pas, car il n'existe aucun nombre réel x égal à x + 1. Pour une fonction f définie sur E et à valeurs dans P ( E ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(E)} , un point fixe est un élément x de E tel que x ∈ f ( x ) {\displaystyle x\in f(x)} , comme dans le théorème du point fixe de Kakutani.