Points de Brocard

Le problème a été posé en 1875 par Henri Brocard comme question dans les Nouvelles Annales de mathématiques, et résolu la même année par C. Chadu, puis étudié plus longuement par Brocard en 1877. L'appellation « points de Brocard » a été proposée par Joseph Neuberg en 1881. Cependant, la formule de l'angle de Brocard avait déjà été trouvée par August Leopold Crelle en 1816, et Charles Jacobi avait poursuivi l'étude en 1825 . Le premier point de Brocard d'un triangle ABC est le point P tel que les angles P A B ^ , {\displaystyle {\widehat {PAB}},} P B C ^ {\displaystyle {\widehat {PBC}}} et P C A ^ {\displaystyle {\widehat {PCA}}} orientés positivement soient égaux. Le second point de Brocard du triangle est le point P' tel que les angles P ′ B A ^ , {\displaystyle {\widehat {P'BA}},} P ′ C B ^ {\displaystyle {\widehat {P'CB}}} et P ′ A C ^ {\displaystyle {\widehat {P'AC}}} orientés positivement soient égaux. L'existence de ces deux points est une conséquence de la version trigonométrique du théorème de Ceva. Les angles P A B ^ , {\displaystyle {\widehat {PAB}},} P B C ^ , {\displaystyle {\widehat {PBC}},} P C A ^ , {\displaystyle {\widehat {PCA}},} P ′ B A ^ , {\displaystyle {\widehat {P'BA}},} P ′ C B ^ {\displaystyle {\widehat {P'CB}}} et P ′ A C ^ {\displaystyle {\widehat {P'AC}}} sont tous égaux à l'angle de Brocard du triangle, noté ω {\displaystyle \omega } , lequel peut être calculé à partir d'une des formules suivantes : où S désigne l'aire du triangle, a, b, c les longueurs de ses côtés, A ^ {\displaystyle {\widehat {A}}} , B ^ {\displaystyle {\widehat {B}}} , C ^ {\displaystyle {\widehat {C}}} ses angles en A, B, C. On appelle droite de Brocard l'une quelconque des six droites joignant un sommet du triangle à l'un des points de Brocard. Elles ne sont pas à confondre avec l'axe de Brocard, qui est la droite reliant le centre du cercle circonscrit au triangle à son point de Lemoine.