Relation binaire

En mathématiques, une relation binaire entre deux ensembles E {\displaystyle E} et F {\displaystyle F} (ou simplement relation entre E {\displaystyle E} et F {\displaystyle F} ) est définie par un sous-ensemble du produit cartésien E × F {\displaystyle E\times F} , soit une collection de couples dont la première composante est dans E {\displaystyle E} et la seconde dans F {\displaystyle F} . Cette collection est désignée par le graphe de la relation. Les composantes d'un couple appartenant au graphe d'une relation R {\displaystyle {\mathcal {R}}} sont dits en relation par R {\displaystyle {\mathcal {R}}} . Une relation binaire est parfois appelée correspondance entre les deux ensembles. Par exemple, en géométrie plane, la relation d'incidence entre un point et une droite du plan « le point A est sur la droite d » est une relation binaire entre l'ensemble des points et l'ensemble des droites du plan. Les fonctions ou applications d'un ensemble E {\displaystyle E} dans un ensemble F {\displaystyle F} peuvent être vues comme des cas particuliers de relations binaires entre E {\displaystyle E} et F {\displaystyle F} . Lorsque F = E {\displaystyle F=E} , l'ordre des deux composantes d'un couple a son importance. Par exemple, la relation « … est strictement inférieur à … », notée <, sur l'ensemble N des entiers naturels est une relation sur N ; on note n < p {\displaystyle n<p} pour indiquer que n {\displaystyle n} et p {\displaystyle p} sont en relation. Le couple (1, 2) est un élément du graphe, contrairement au couple (2, 1). La notion de relation peut être généralisée à plus de deux arguments, voir « Relation (mathématiques) ».