Test de Jarque-Bera

Pour les articles homonymes, voir Jarque et Bera (homonymie). modifier - modifier le code - modifier Wikidata Le test de Jarque-Bera est un test d'hypothèse qui cherche à déterminer si des données suivent une loi normale. Comme pour chaque test d'hypothèse, il faut poser une hypothèse nulle à valider : La variable de Jarque-Bera s'écrit avec: Mathématiquement, S et K sont définis par: S = μ ^ 3 σ ^ 3 = 1 n ∑ i = 1 n ( x i − x ¯ ) 3 ( 1 n ∑ i = 1 n ( x i − x ¯ ) 2 ) 3 / 2 K = μ ^ 4 σ ^ 4 = 1 n ∑ i = 1 n ( x i − x ¯ ) 4 ( 1 n ∑ i = 1 n ( x i − x ¯ ) 2 ) 2 , {\displaystyle {\begin{aligned}&S={\frac {{\hat {\mu }}_{3}}{{\hat {\sigma }}^{3}}}={\frac {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{3}}{\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}\right)^{3/2}}}\\&K={\frac {{\hat {\mu }}_{4}}{{\hat {\sigma }}^{4}}}={\frac {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{4}}{\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}\right)^{2}}},\end{aligned}}} avec μ ^ 3 {\displaystyle {\hat {\mu }}_{3}} et μ ^ 4 {\displaystyle {\hat {\mu }}_{4}} les estimateurs du troisième et quatrième moments, x ¯ {\displaystyle {\bar {x}}} est la moyenne de l'échantillon et σ ^ 2 {\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}} est la variance de l'échantillon. La statistique JB suit asymptotiquement une loi du χ² à deux degrés de liberté. Ce test est fréquemment utilisé pour déterminer si les résidus d'une régression linéaire suivent une distribution normale. Certains auteurs proposent de corriger par le nombre k de régresseurs, tandis que d'autres ne le mentionnent pas. Une loi normale a un coefficient d'asymétrie de 0 et une kurtosis de 3. On saisit alors que si les données suivent une loi normale, le test s'approche alors de 0 et on accepte (ne rejette pas) H0 au seuil α. Le test de Jarque-Bera ne teste pas à proprement parler si les données suivent une loi normale, mais plutôt si le kurtosis et le coefficient d'asymétrie des données sont les mêmes que ceux d'une loi normale de même espérance et variance.