Algoritmo de Chudnovsky

O algoritmo Chudnovsky, descoberto pelos matemáticos ucranianos David e Gregory Chudnovsky, é o mais utilizado para cálculos de alta precisão dos algarismos de π. Baseia-se em uma fórmula de Ramanujan e implementa uma série de convergência rápida após uma função hipergeométrica. O algoritmo baseia-se no negado número de Heegner d = − 163 {\displaystyle d=-163} , a j-função j ( 1 + − 163 2 ) = − 640320 3 {\displaystyle j{\big (}{\tfrac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}{\big )}=-640320^{3}} e com a seguinte rápida série convergente hipergeométrica generalizada 1 π = 12 ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( 6 k ) ! ( 545140134 k + 13591409 ) ( 3 k ) ! ( k ! ) 3 ( 640320 3 ) k + 1 / 2 . {\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(545140134k+13591409)}{(3k)!(k!)^{3}(640320^{3})^{k+1/2}}}.\!} Note-se que 545140134 = 163 {\displaystyle 545140134=163} × 3344418 {\displaystyle 3344418} e, e π 163 = 640320 3 + 743,999 9999999992500725 … e π 3 163 = 640320,000 00000060486373 … {\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {163}}}&=640320^{3}+743{,}9999999999992500725\ldots \\e^{{\frac {\pi }{3}}{\sqrt {163}}}&=640320{,}00000000060486373\ldots \end{aligned}}} Essa identidade é semelhante a algumas das fórmulas de Ramanujan envolvendo π, e é um exemplo de uma série de Ramanujan-Sato.