Delta de Kronecker

Na matemática, o delta de Kronecker, assim chamado em honra a Leopold Kronecker, é a notação δ i j {\displaystyle \delta _{ij}} definida por: δ i j = { 1 , se i = j 0 , se i ≠ j {\displaystyle \delta _{ij}=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{se }}i=j\\0,&{\mbox{se }}i\neq j\end{matrix}}\right.} ou, usando o colchete de Iverson: δ i j = [ i = j ] {\displaystyle \delta _{ij}=[i=j]} Note-se que, a rigor, o delta de Kronecker não é uma função, pois ele pode ser usado com qualquer símbolo matemático. Seu uso mais comum é como função de domínio Z × Z {\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} } mas pode ter outros domínios restrições ou outros conjuntos mais gerais. O delta de Kronecker forma o elemento de identidade multiplicativo de uma álgebra de incidência. Na Álgebra Linear, utiliza-se o Delta de Kronecker para identificar um Conjunto Ortonormal, que é um conjunto cujos vetores além de serem ortogonais dois a dois têm norma igual a um, ou seja, são unitários. Nesse caso, tomando dois vetores distintos do conjunto, tem-se que seu produto interno será zero (pois são ortogonais) formando um ângulo reto entre si. Mas se for tomado um mesmo vetor duas vezes, o ângulo será nulo e tanto o seu cosseno quanto o produto interno serão, também, iguais a 1. Logo, pode-se identificar um conjunto Ortonormal da seguinte forma: ⟨ v i , v j ⟩ = δ i j , ∀ i , j ∈ { 1 , ⋯ , n } . {\displaystyle \langle v_{i},v_{j}\rangle =\delta _{ij},\forall \,i,j\in \{1,\cdots ,n\}.}