Lei do logaritmo iterado

No entanto, a tese contida nesta foi expandida por Andrei Kolmogorov em 1929. Seja { Y n } {\displaystyle \{Y_{n}\}} variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média zero e desvio unitário. Seja S n = Y 1 + ⋯ + Y n {\displaystyle S_{n}=Y_{1}+\dots +Y_{n}} . Então, onde log {\displaystyle \log } é o logaritmo natural, lim sup {\displaystyle \limsup } indica o limite superior, e q.c. {\displaystyle {\text{q.c.}}} significa "quase certamente". A lei de iterado logaritmos opera "entre" a lei dos grandes números e o teorema central do limite. Existem duas versões da lei dos grandes números — a fraca e a forte — e ambas afirmam que as somas S n {\displaystyle S_{n}} , dimensionadas por n − 1 {\displaystyle n^{-1}} , convergem para zero, respectivamente em probabilidade e quase certamente: Por outro lado, o teorema central do limite afirma que as somas S n {\displaystyle S_{n}} dimensionadas pelo fator n − 1 / 2 {\displaystyle n^{-1/2}} convergem em distribuição para uma distribuição normal padrão. Pela lei zero-um de Kolmogorov, para qualquer M {\displaystyle M} fixo, a probabilidade de que o evento lim sup n S n n > M {\displaystyle \limsup _{n}{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}>M} ocorra é 0 ou 1. Então o que resulta que lim sup n S n n = ∞ com probabilidade 1. {\displaystyle \limsup _{n}{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}=\infty \qquad {\text{com probabilidade 1.}}} Argumento idêntico mostra que Isto implica que essas quantidades não convergem quase certamente.