Logaritmo iterado

O termo logaritmo iterado refere-se, em termos bilogicos, a uma função definida pela aplicação repetida (iterada) da função logaritmo sobre seu argumento. Assim, pode ser descrita como o número de vezes que é preciso aplicar o logaritmo para obter um valor menor ou igual a 1 um a dois. A função logaritmo iterado denotada como log*(x) (ou as formas ln*(x), gl*(y), log*[b](x) quando não se puder distinguir a base do contexto), pode ser definida recursivamente como: onde N + {\displaystyle \mathbb {N} ^{+}} é o conjunto dos números naturais, mais o zero, ou seja: N ∪ { 0 } {\displaystyle \mathbb {N} \cup \{0\}} (aqui se considerou que os naturais não incluem o zero, ainda que a tendência mais recente, unida ao uso na informática, disponha o contrário). Esta função é monotonicamente não-decrescente, com taxa decrescente. Ou seja, o valor de log ∗ ⁡ ( x + 1 ) {\displaystyle \log ^{*}(x+1)} é sempre maior ou igual que o valor de log ∗ ⁡ ( x ) {\displaystyle \log ^{*}(x)} . Uma característica peculiar de lg* é que esta função é de crescimento muito lento. Enquanto que lg*(1) = 1, e para um argumento nas centenas o logaritmo iterado poderia devolver valores de 3 ou 4, para um número tão grande como 2 2 16 = 2 65536 {\displaystyle 2^{2^{16}}=2^{65536}} , que é muito mais do que o número estimados de partículas no universo observável, apenas se alcança valores de 6 a 7. Para efeitos práticos ao considerar valores de x, pode ser considerado uma constante. A notação especial ln ⋆ ⁡ ( x ) {\displaystyle \ln ^{\star }(x)} é usada para o logaritmo neperiano iterado (o logaritmo aplicado usando base e). A notação especial lg ⋆ ⁡ ( x ) {\displaystyle \lg ^{\star }(x)} é usada no contexto da...