Logistic differential equation

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En dynamique des populations, le modèle de Verhulst a été proposé par Pierre François Verhulst vers 1840. Il a proposé ce modèle de croissance en réponse au modèle de Malthus qui proposait un taux d'accroissement constant sans frein conduisant à une croissance exponentielle de la population. Le modèle de Verhulst fait l'hypothèse que le taux de natalité et le taux de mortalité sont des fonctions affines respectivement décroissante et croissante de la taille de la population. Autrement dit, plus la taille de la population augmente, plus son taux de natalité diminue et son taux de mortalité augmente. Verhulst pose d'autre part que, lorsqu'une population est de petite taille, elle a tendance à croître. Le même modèle est utilisable pour des réactions autocatalytiques, dans lesquelles l'augmentation des individus touchés est proportionnelle à la fois au nombre d'individus déjà touchés et au nombre d'individus qui peuvent encore être touchés. Ce modèle conduit, en temps continu, à une fonction logistique ; et en temps discret à une suite logistique dont la particularité est d'être, dans certaines circonstances, chaotique. Si on appelle : alors, en s'inspirant du modèle de Malthus, la taille de la population suit l'équation différentielle : Si m et n sont des fonctions affines de y, respectivement croissante et décroissante (natalité : favorisée par une population limitée ayant un accès aisé aux ressources ; mortalité : favorisée par une population nombreuse donc vieillissante et en concurrence pour les ressources), alors n – m est une fonction affine globalement décroissante (n étant décroissante et –m également). Cette fonction n(y) – m(y) est le taux net de croissance de la population y ; Verhulst postule qu’il diminue à mesure que la population augmente: autrement dit, plus l’effectif de la population augmente, plus il lui est difficile d’augmenter (la population finit par avoir une tendance à stagner). L’observation du réel pousse également Verhulst à poser que pour de petits effectifs de population y, le taux net de croissance de cette population n(y) – m(y) est strictement positif et potentiellement plutôt élevé (la population est initialement en croissance, car les conditions sont favorables — ex. nourriture abondante au regard de l’effectif total) ; tandis que pour de grands effectifs, le taux net de croissance tend à se réduire voire devenir nul (conditions défavorables à la croissance : vieillissement, concurrence accrue pour les ressources limitées).