Problema de Basileia

O Problema de Basileia é um famoso problema de teoria dos números proposto pela primeira vez por Pietro Mengoli e resolvido por Leonhard Euler em 1735. Posto que o problema não foi resolvido pelos matemáticos mais importantes da época, a solução tornou Euler rapidamente conhecido aos vinte e oito anos. Euler generalizou o problema consideravelmente, e suas ideias foram tomadas anos depois por Bernhard Riemann em seu artigo de 1859 Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe, onde definiu sua função zeta e demonstrou suas propriedades básicas. O problema deve seu nome à cidade onde residia Euler (Basileia), cidade onde vivia também a família Bernoulli, que tentou resolver o problema sem êxito. O problema de Basileia consiste em encontrar a soma exata dos inversos dos quadrados dos inteiros positivos, isto é, a soma exata da série infinita: ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = lim n → ∞ ( 1 1 2 + 1 2 2 + ⋯ + 1 n 2 ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right)}