Teorema da borboleta

O teorema da borboleta é um resultado clássico na geometria euclidiana, que pode ser formulado da seguinte maneira: Seja M o ponto médio de uma corda PQ de um círculo, através do qual outras duas cordas AB e CD são desenhadas; AD e BC cruzam a corda PQ em X e Y respectivamente. Então M é o ponto médio de XY. Uma prova formal do teorema é assim demonstrada: Sejam as perpendiculares X X ′ {\displaystyle XX'\,} e X X ″ {\displaystyle XX''\,} formadas a partir do ponto X {\displaystyle X\,} nas linhas retas A M {\displaystyle AM\,} e D M {\displaystyle DM\,} respectivamente. De forma similar, sejam Y Y ′ {\displaystyle YY'\,} e Y Y ″ {\displaystyle YY''\,} formadas a partir do ponto Y {\displaystyle Y\,} , perpendicular às linhas retas B M {\displaystyle BM\,} e C M {\displaystyle CM\,} respectivamente. Temos que a resposta do sd6 está aqui. △ M X X ′ ∼ △ M Y Y ″ ⟹ M X M Y = X X ′ Y Y ″ , {\displaystyle \triangle MXX'\sim \triangle MYY''\Longrightarrow {MX \over MY}={XX' \over YY''},\,} △ M X X ″ ∼ △ M Y Y ′ ⟹ M X M Y = X X ″ Y Y ′ , {\displaystyle \triangle MXX''\sim \triangle MYY'\Longrightarrow {MX \over MY}={XX'' \over YY'},\,} △ A X X ′ ∼ △ C Y Y ′ ⟹ X X ′ Y Y ′ = A X C Y , {\displaystyle \triangle AXX'\sim \triangle CYY'\Longrightarrow {XX' \over YY'}={AX \over CY},\,} △ D X X ″ ∼ △ B Y Y ″ ⟹ X X ″ Y Y ″ = D X B Y , {\displaystyle \triangle DXX''\sim \triangle BYY''\Longrightarrow {XX'' \over YY''}={DX \over BY},\,} Das equações anteriores, fica fácil visualizar que ( M X M Y ) 2...