Teorema de Goodstein

Na matemática lógica, o Teorema de Goodstein é um enunciado sobre os números naturais, provado por Reuben Goodstein em 1994, o qual define que toda sequência de Goodstein termina em zero. Kirby & Paris, em 1982, mostraram que isto não é demonstrável na aritmética de Peano (mas isto pode ser provado em sistemas em ordem maior, de acordo com a ordem aritmética). Este foi o terceiro exemplo “natural” de um enunciado verdadeiro que não é demonstrável na aritmética de Peano(depois da prova direta, de Gerhard Gentzen, em 1943,da indemonstrabilidade da indução-ε0 na aritmética de Peano e o Teorema de Paris-Harrington). Anteriormente, enunciados deste tipo tinham sido, exceto para Gentzen, extremamente complicados, construções aleatórias (como os enunciados gerados pela construção dada no Teorema da Incompletude de Gödel) ou interessou metamatemáticos ou resultados combinatoriais (Kirby & Paris 1982). Laurie Kirby e Jeff Paris deram uma interpretação do Teorema de Goodstein como um jogo de hidras: a “Hidra” é uma árvore enraizada, e um movimento, ou jogada, consiste em cortar uma das suas CABEÇAS (um galho da árvore), a qual a hidra reage com o crescimento de um número finito de novos galhos, de acordo com determinadas regras. A interpretação de Kirby-Paris do teorema diz que a Hidra vai, eventualmente, ser morta, independentemente da estratégia que Hércules usa para cortar fora as cabeças, embora isto possa levar muito, muito tempo.