Teorema de Taylor

Em cálculo, o Teorema de Taylor, recebe seu nome do matemático britânico Brook Taylor, quem o enunciou em 1712. Este teorema permite aproximar uma função derivável na vizinhança reduzida em torno de um ponto a: E (a, d) mediante um polinômio cujos coeficientes dependem das derivadas da função nesse ponto. Em termos matemáticos: Se n {\displaystyle \ n} ≥ 0 é um inteiro e f {\displaystyle \ f} uma função que é derivável n {\displaystyle \ n} vezes no intervalo fechado [ a {\displaystyle \ a} , x {\displaystyle \ x} ] e n+1 no intervalo aberto ] a {\displaystyle \ a} , x {\displaystyle \ x} [, então, deduz-se que: f ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) 1 ! ( x − a ) + f ( 2 ) ( a ) 2 ! ( x − a ) 2 + ⋯ + f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n + R {\displaystyle f(x)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f^{(2)}(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+R} f ( x ) = ∑ k = 0 n f ( k ) ( a ) k ! ( x − a ) k + R {\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+R} Onde, n ! {\displaystyle \ n!} denota o fatorial de n {\displaystyle \ n} , e R {\displaystyle \ R} é o resto, termo que depende de x {\displaystyle \ x} e é pequeno se x {\displaystyle \ x} está próximo ao ponto a {\displaystyle \ a} . Existem duas expressões para R {\displaystyle \ R} que referem-se à continuação: R = f ( n + 1 ) ( ξ ) ( n + 1 ) ! ( x − a ) n + 1 {\displaystyle R={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}} onde a {\displaystyle \ a}...