Teste da raiz

O teste da raiz, critério da raiz ou teste de Cauchy é um teorema que permite estabelacer a convergência de uma série numérica. Muitas vezes, ele é também aplicado para estudar a convergência de uma série de funções e permite estabelecer o raio de convergência de uma série de Taylor Seja ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} uma série numérica e a constante k {\displaystyle k} definida pelo limite: Então: No caso de o limite não existir, este teste ainda é válido, substituindo a definição de k {\displaystyle k} por: Considere a série dada por: Portanto a série converge. Considere a série dada por: Então b n {\displaystyle b_{n}} não tem limite, ou seja, lim n → ∞ b n {\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}} não existe. Neste caso então, como o limite não existe, aplicaremos Como 2 > 1 {\displaystyle 2>1} a série é divergente. Seja: Escolha ε = 1 − k 2 {\displaystyle \varepsilon ={\frac {1-k}{2}}} Como k < 1 {\displaystyle k<1} , ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} e, portanto, existe um N > 0 {\displaystyle N>0} tal que: De forma que: