1 + 2 + 3 + 4 + ⋯

La suma infinita cuyos términos son los números naturales 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ es una serie divergente. La n-ésima suma parcial de la serie es el número triangular ∑ k = 1 n k = n ( n + 1 ) 2 , {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}},} que incrementa sin límite mientras n tiende al infinito. Ya que la sucesión de sumas parciales no converge a un límite finito, la serie no tiene una suma. Aunque a primera vista parece que la serie no tiene ningún valor significativo, puede ser manipulada para producir varios resultados matemáticamente interesantes, algunos de los cuales tienen aplicaciones en otras áreas como el análisis complejo, la teoría cuántica de campos y la teoría de cuerdas. Varios métodos de suma se usan en matemáticas para asignarle valores numéricos a series divergentes. En particular, los métodos de regularización de la función zeta y el sumatorio de Ramanujan le asignan un valor de - 1/12, que está expresado por una fórmula famosa:​ 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = − 1 12 {\displaystyle 1+2+3+4+\cdots =-{\frac {1}{12}}} donde el lado izquierdo debe interpretarse como el valor obtenido utilizando uno de los métodos de suma antes mencionados y no como la suma de una serie infinita en su significado habitual. Estos métodos tienen aplicaciones en otros campos como el análisis complejo, la teoría cuántica de campos y la teoría de cuerdas.​ En una monografía sobre la teoría moonshine, el matemático Terry Gannon, de la Universidad de Alberta, califica esta ecuación de "una de las fórmulas más notables de la ciencia".​