Suma de Ramanujan

En matemáticas, la suma de Ramanujan, llamada así por Srinivasa Ramanujan y normalmente escrita como cq(n), se define como c q ( n ) = ∑ a = 1 ( a , q ) = 1 q e 2 π i a q n , {\displaystyle c_{q}(n)=\sum _{a=1 \atop (a,q)=1}^{q}e^{2\pi i{\tfrac {a}{q}}n},} donde n y q son los dos enteros positivos que definen la suma; (a,q)=1 indica que a solo puede tomar valores cuyo máximo común divisor con respecto a q sea 1 (es decir, que a y q sean coprimos entre sí); y e(x) es la función exponencial. Es fácilmente demostrable que la suma de Ramanujan es multiplicativa, por ejemplo, cq(n)cr(n)=cqr(n) para cualquier (q,r) = 1. Otra propiedad es que cq(n) es igual a su complejo conjugado, y por tanto real. Escribiendo d como el máximo común divisor de q y n, y nombrando la función de Möbius y la función fi de Euler por μ y φ respectivamente, cumple la siguiente identidad: c q ( n ) = μ ( q / d ) ϕ ( q ) ϕ ( q / d ) . {\displaystyle c_{q}(n)=\mu (q/d){\frac {\phi (q)}{\phi (q/d)}}.}