Conjeturas de Weil

Una variedad V sobre un campo finito con q elementos tiene un número finito de puntos racionales (con coordenadas en el campo original), así como puntos con coordenadas en cualquier extensión finita del campo original. La función generadora tiene coeficientes derivados de los números Nk de puntos sobre el campo de extensión con q elementos. Weil conjeturó que tales funciones zeta para variedades suaves deberían ser funciones racionales, deberían satisfacer una forma de ecuación funcional y deberían tener sus ceros en lugares restringidos. Las dos últimas partes fueron modeladas de manera bastante consciente en la función zeta de Riemann, un tipo de función generadora de enteros primos, que obedece a una ecuación funcional y (conjeturalmente) tiene sus ceros restringidos por la hipótesis de Riemann. La racionalidad fue probada por Bernard Dwork, la ecuación funcional por Alexander Grothendieck, y el análogo de la hipótesis de Riemann por Pierre Deligne (1974). El primer antecedente de las conjeturas de Weil es obra de Carl Friedrich Gauss y aparece en la sección VII de sus Disquisitiones Arithmeticae (Mazur, 1974), relacionado con las raíces de la unidad y los períodos gaussianos. En el artículo 358, pasa de los períodos que construyen torres de extensiones cuadráticas, para la construcción de polígonos regulares; y supone que p es un número primo tal que p − 1 es divisible por 3. Entonces existe un campo cúbico cíclico dentro del campo ciclotómico de las p raíces de la unidad, y una base integral normales de periodos para los números enteros de este campo (una instancia del teorema de Hilbert-Speiser).