Conjunto conexo

Un conjunto conexo es un subconjunto C ⊆ X {\displaystyle C\subseteq X} de un espacio topológico ( X , T ) {\displaystyle (X,{\mathcal {T}})\,} (donde T {\displaystyle {\mathcal {T}}\,} es la colección de conjuntos abiertos del espacio topológico) que no puede ser expresado como unión disjunta de dos conjuntos abiertos no vacíos de la topología relativa. Intuitivamente, un conjunto conexo es el que aparece como una sola pieza, que no se puede 'dividir' o 'partir'. En el caso de que un conjunto no sea conexo, se dice que es disconexo. Formalmente C ⊆ X {\displaystyle C\subseteq X} es un conjunto conexo si y sólo si ∀ A , B ∈ T , A ∩ B = ∅ , C ⊆ A ∪ B {\displaystyle \forall A,B\in {\mathcal {T}},A\cap B=\emptyset ,C\subseteq A\cup B} implica C ⊆ A ∨ C ⊆ B {\displaystyle C\subseteq A\vee C\subseteq B} Nótese que si C = X {\displaystyle C=X} y cumple lo anterior, entonces se dice que ( X , T ) {\displaystyle (X,{\mathcal {T}})\,} es un espacio topológico conexo. Bajo estas definiciones, se tiene que C ⊆ X {\displaystyle C\subseteq X} es conexo si y solamente si es un espacio topológico conexo para la topología traza. Se va a definir la conexividad en forma negativa: Un conjunto S se llama conexo, si no existe una partición del mismo en dos conjuntos no vacíos y disjuntos S 1 y S 2, ninguno de los cuales contiene puntos de acumulación del otro. Una hoja de papel es un conjunto conexo, al cortarla en dos partes se ve que ningún punto de una parte es punto de acumulación de la otra.