Espacio compacto

En la rama de topología de las matemáticas, un espacio compacto es un espacio que tiene propiedades similares a un conjunto finito, en cuanto a que las sucesiones contenidas en un conjunto finito siempre contienen una subsucesión convergente. La noción de compacidad es una versión más general de esta propiedad. Un conjunto compacto es un subconjunto de un espacio topológico, que como subespacio topológico (con la topología inducida) es en sí mismo un espacio topológico compacto. La compacticidad es una propiedad que busca generalizar el concepto de un subconjunto cerrado y acotado en el espacio Euclidiano.​ La idea es que un espacio compacto no posee "pinchazos" o "ausencia de puntos finales", o sea, incluye todos los valores límites de los puntos. Por ejemplo, el intervalo abierto (0,1) no es compacto porque excluye los valores límites 0 y 1, mientras que el intervalo cerrado [0,1] es compacto. De manera similar, el espacio de los números racionales Q {\displaystyle \mathbb {Q} } no es compacto, porque posee un número infinito de "pinchazos o agujeros" correspondientes a los números irracionales, y el espacio de los números reales R {\displaystyle \mathbb {R} } tampoco es compacto, porque excluye a los dos valores límites + ∞ {\displaystyle +\infty } y − ∞ {\displaystyle -\infty } . Sin embargo, la línea de números reales extendida sería compacta, ya que contiene ambos infinitos. Existen numerosas maneras de expresar de manera precisa esta noción heurística. Estas maneras por lo general coinciden en un espacio métrico, pero pueden no ser equivalentes en otros espacios topológicos. Una de estas generalizaciones establece que el espacio topológico es secuencialmente compacto si toda sucesión infinita de puntos muestreados del espacio posee una sub sucesión que converge a un punto en el espacio.​ El teorema de Bolzano-Weierstrass establece que un subconjunto del espacio euclidiano...