Derivada de Lie

En matemática, una derivada de Lie es una derivación en el álgebra de funciones diferenciables sobre una variedad diferenciable M {\displaystyle {\mathcal {M}}} , cuya definición puede extenderse al álgebra tensorial de la variedad. Obtenemos entonces lo que en topología diferencial se denomina derivación tensorial: una aplicación R {\displaystyle \mathbb {R} } -lineal sobre el conjunto de tensores de tipo ( r , s ) {\displaystyle (r,s)} , que preserva el tipo tensorial y satisface la regla del producto de Leibniz y que conmuta con las contracciones. Para definir la derivada de Lie sobre el conjunto de tensores de tipo ( r , s ) {\displaystyle (r,s)} bastará con definir su acción sobre funciones y sobre campos de vectores: Así, si X {\displaystyle X} es un campo diferenciable de vectores, se define la derivada de Lie con respecto a X como la única derivación tensorial tal que:​ L X f = X ( f ) . {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f=X(f).} para toda función diferenciable f {\displaystyle f} . L X Y = [ X , Y ] . {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y=[X,Y].} para todo campo diferenciable Y {\displaystyle Y} . Donde [ , ] {\displaystyle [,]} es el corchete de Lie. La derivada así definida satisfará automáticamente las propiedades citadas de una derivación tensorial: la regla del producto L X ( S ⊗ T ) = ( L X S ) ⊗ T + S ⊗ ( L X T ) . {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(S\otimes T)=({\mathcal {L}}_{X}S)\otimes T+S\otimes ({\mathcal {L}}_{X}T).} conmutará con las contracciones. El espacio vectorial de todas las derivadas de Lie en M {\displaystyle {\mathcal {M}}} forma a su vez un álgebra de Lie de dimensión infinita con respecto al corchete de Lie. Aunque menos habitual, también se denota a la derivada de Lie de Y {\displaystyle Y} respecto de...