Equicontinuidad

Sean ( X , T ) {\displaystyle (X,{\mathcal {T}})\,} un espacio topológico, ( Y , d ) {\displaystyle (Y,d)\,} un espacio métrico, y x 0 {\displaystyle x_{0}} un punto en X {\displaystyle X} . Un conjunto H {\displaystyle H} de funciones de X {\displaystyle X} en Y {\displaystyle Y} se dice equicontinuo en x 0 {\displaystyle x_{0}} si y solamente si para todo r > 0 , ∃ A {\displaystyle r>0,\exists A} entorno de x 0 {\displaystyle x_{0}} tal que ∀ f ∈ H , f ( A ) ⊆ B ( f ( x 0 ) , r ) {\displaystyle \forall f\in H,f(A)\subseteq B(f(x_{0}),r)} Debe tenerse en cuenta que, en particular, si H {\displaystyle H} es equicontinuo en x 0 {\displaystyle x_{0}} , entonces todas las funciones que pertenecen a H {\displaystyle H} son continuas en x 0 {\displaystyle x_{0}} . Se dice que H {\displaystyle H} es equicontinua si lo es para todo x 0 ∈ X {\displaystyle x_{0}\in X} .