Norma vectorial

En álgebra vectorial, geometría y física, una norma en un espacio vectorial es un operador que permite definir una noción de "longitud" o "tamaño" de cualquier vector. Más concretamente, dado un espacio vectorial V {\displaystyle V} , una aplicación de V {\displaystyle V} en el conjunto de los números reales, se dice que es una norma: Si es no negativa, se anula únicamente en el vector nulo, satisface la desigualdad triangular y es especie homogénea. El ejemplo por antonomasia es la norma euclídea en R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} , definida mediante ‖ ( x 1 , … , x n ) ‖ = x 1 2 + ⋯ + x n 2 {\displaystyle \|(x_{1},\dots ,x_{n})\|={\sqrt {x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}}} , y que se interpreta como la distancia en línea recta al cero. No obstante, en un mismo espacio vectorial puede haber muchas maneras de definir una norma, y cada una le confiere una estructura distinta de espacio normado. De hecho, en R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} existen otras normas distintas de la euclídea, como la norma ‖ ⋅ ‖ 1 {\displaystyle \|\cdot \|_{1}} , también llamada del taxista. Todo producto escalar ⟨ , ⟩ : V × V → R {\displaystyle \langle ,\rangle :V\times V\to \mathbb {R} } produce una norma definida como ‖ v ‖ = ⟨ v , v ⟩ {\displaystyle \|v\|={\sqrt {\langle v,v\rangle }}} . Cualquier norma ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|\cdot \|} en V {\displaystyle V} genera una distancia en V {\displaystyle V} mediante d ( x , y ) = ‖ y − x ‖ {\displaystyle d(x,y)=\|y-x\|} ; o en el espacio afín asociado mediante d ( p , q ) = ‖ p q → ‖ {\displaystyle d(p,q)=\|{\vec {pq}}\|} .