Integral de Borwein

En matemáticas, una integral de Borwein es una integral con unas propiedades peculiares presentada por primera vez por los matemáticos David Borwein y Jonathan Borwein en 2001.​ Las integrales de Borwein utilizan productos de senos cardinales sinc(ax), donde la función seno cardinal se define como sinc(x) = sen(x)/x para x distinto de 0, y sinc(0) = 1.​​ Estas integrales presentan un aparente patrón regular que acaba rompiéndose de repente. Así, ∫ 0 ∞ sen ⁡ ( x ) x d x = π 2 ∫ 0 ∞ sen ⁡ ( x ) x sen ⁡ ( x / 3 ) x / 3 d x = π 2 ∫ 0 ∞ sen ⁡ ( x ) x sen ⁡ ( x / 3 ) x / 3 sen ⁡ ( x / 5 ) x / 5 d x = π 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {sen}(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {sen}(x)}{x}}{\frac {\operatorname {sen}(x/3)}{x/3}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {sen}(x)}{x}}{\frac {\operatorname {sen}(x/3)}{x/3}}{\frac {\operatorname {sen}(x/5)}{x/5}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}} Este esquema continúa hasta ∫ 0 ∞ sen ⁡ ( x ) x sen ⁡ ( x / 3 ) x / 3 ⋯ sen ⁡ ( x / 13 ) x / 13 d x = π 2 . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {sen}(x)}{x}}{\frac {\operatorname {sen}(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\operatorname {sen}(x/13)}{x/13}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.} Sin embargo, con el siguiente término, se produce el siguiente resultado: ∫ 0 ∞ sen ⁡ ( x ) x sen ⁡ ( x / 3 ) x / 3 ⋯ sen ⁡ ( x / 15 ) x / 15 d x = 467807924713440738696537864469 935615849440640907310521750000 π = π 2 − 6879714958723010531 935615849440640907310521750000 π ≈ π 2 − 2.31 × 10 − 11 . {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {sen}(x)}{x}}{\frac {\operatorname {sen}(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\operatorname {sen}(x/15)}{x/15}}\,dx&={\frac {467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}}~\pi \\[5pt]&={\frac {\pi }{2}}-{\frac...