Problema de Dirichlet

En este caso el problema puede enunciarse como sigue: Este requisito se denomina condición de contorno de Dirichlet. En este problema es fundamental probar la existencia de la solución; la unicidad viene dada utilizando el principio del máximo. El problema de Dirichlet debe su nombre a Lejeune Dirichlet, quien propuso una solución para un método variacional el cual se conoce como principio de Dirichlet. La existencia de una solución única es muy plausible por el 'argumento físico': cualquier distribución de carga sobre el contorno, para las leyes de la electrostática, deberá determinar un potencial eléctrico como solución. Sin embargo, Weierstrass encontró una falla al argumento de Dirichlet, y una demostración rigurosa de la existencia fue encontrada recién en 1900 por Hilbert. Resultó entonces que la existencia de una solución depende delicadamente de la suavidad del contorno y de los datos prescritos. Para un dominio D {\displaystyle D} teniendo la suavidad suficiente sobre el contorno ∂ D {\displaystyle \partial D} , la solución general al problema de Dirichlet es: u ( x ) = ∫ ∂ D ν ( s ) ∂ G ( x , s ) ∂ n d s {\displaystyle u(x)=\int _{\partial D}\nu (s){\frac {\partial G(x,s)}{\partial n}}ds} donde es la derivada de la función de Green a lo largo del vector unitario normal apuntando hacia el interior n ^ {\displaystyle {\widehat {n}}} . La integración se realiza sobre el contorno, con la medida d s {\displaystyle ds} .