Problema de Dirichlet

Em matemática, um problema de Dirichlet consiste em encontrar uma função que satisfaça uma equação diferencial parcial (EDP) dada no interior de uma região dada e que toma valores prescritos na fronteira (contorno) desta. Originalmente, o problema foi proposto para a equação de Laplace. Nesse caso ele pode ser apresentado da seguinte forma: dada uma função f {\displaystyle f} definida no contorno de um dado conjunto em R, existe uma única função contínua u diferenciável continuamente duas vezes no interior e contínua no contorno, tal que u {\displaystyle u} é harmônica no interior e u = f {\displaystyle u=f} no contorno? A exigência imposta sobre u {\displaystyle u} na fronteira do conjunto é chamada de condição de contorno de Dirichlet. A questão principal é provar a existência de uma solução. A unicidade pode ser demonstrada usando-se o princípio do máximo. O problema de Dirichlet é nomeado em homenagem a Lejeune Dirichlet, que propôs uma solução para um método variacional que tornou-se conhecido como princípio de Dirichlet. A existência de uma única solução é muito plausível pelo 'argumento físico': qualquer distribuição de carga no contorno deveria, pelas leis da eletrostática, determinar um potencial elétrico como solução. Entretanto, Weierstrass encontrou uma falha no argumento de Dirichlet, e uma rigorosa prova de existência foi encontrada somente em 1900 por Hilbert. Ocorre que a existência de uma solução depende delicadamente da suavidade do contorno e os dados prescritos.