Símplex

En geometría, un símplex o n-símplex (o símplice) es el análogo en n dimensiones de un triángulo. Más exactamente, un símplex es la envoltura convexa de un conjunto de (n + 1) puntos independientes afines en un espacio euclídeo de dimensión n o mayor, es decir, el conjunto de puntos tal que ningún m-plano contiene más que (m + 1) de ellos. Se dice de estos puntos que están en posición general. Por ejemplo, un 0-símplex es un punto; un 1-símplex un segmento de una línea; un 2-símplex un triángulo; un 3-símplex es un tetraedro; y un 4-símplex es un pentácoron (en cada caso, con su interior). Un símplex regular es también un politopo regular. Un n-símplex regular puede construirse a partir de un (n-1)-símplex regular conectando un nuevo vértice a todos los vértices originales por la longitud común del lado. La envoltura convexa de cualesquiera m de los n puntos también es un símplex, llamado una m-cara. Las 0-caras se llaman vértices; las 1-caras, lados; las (n-1)-caras se llaman facetas; y la única n-cara es el n-símplex en sí. Por lo tanto, el número de m-caras de un n-símplex puede hallarse en la columna (m + 1) de la fila (n + 1) del Triángulo de Pascal. Una manera de hallar el volumen de un símplex es mediante los determinantes de Cayley-Menger.