Transformada de Abel

En matemáticas, la transformada de Abel, llamada así por Niels Henrik Abel, es una transformada integral frecuentemente usada en el análisis de funciones de simetría esférica o axial. La transformada de Abel de una función f(r) está dada por: F ( y ) = 2 ∫ y ∞ f ( r ) r d r r 2 − y 2 . {\displaystyle F(y)=2\int _{y}^{\infty }{\frac {f(r)r\,dr}{\sqrt {r^{2}-y^{2}}}}.} Si f(r) tiende a cero más rápidamente que 1/r, la transformada inversa de Abel viene dada por f ( r ) = − 1 π ∫ r ∞ d F d y d y y 2 − r 2 . {\displaystyle f(r)=-{\frac {1}{\pi }}\int _{r}^{\infty }{\frac {dF}{dy}}\,{\frac {dy}{\sqrt {y^{2}-r^{2}}}}.} En análisis de imágenes, se usa una transformada de Abel para proyectar una función de emisión ópticamente delgada y de simetría axial sobre un plano. La transformada inversa se usa para calcular la función de emisión, dada una cierta proyección (ej. un escaneo o una fotografía) de esta función. Recientemente la transformada inversa de Abel (y sus variantes) se ha convertido en la piedra angular del análisis de datos de imágenes tipo fotón/fragmento/ion (photofragment-ion imaging) y fotón/electrón (photoelectron imaging). Entre las más notables extensiones recientes de la transformada inversa de Abel están los métodos Onion Peeling y BAsis Set Expansion (BASEX) para análisis de imágenes tipo fotón/electrón y fotón/ion.