Transformada de Abel

Em Matemática, a Transformada de Abel, enunciada por Niels Henrik Abel, é uma transformada integral utilizada em análise de projeções de funções que apresentam simetria esférica ou axial, como, por exemplo, na estimativa da distribuição de massa em galáxias a partir de observações astronômicas, na obtenção da variação de parâmetros atmosféricos com a altitude a partir da ocultação de ondas de rádio pela Terra e na análise da imagem captada por uma câmara de TV que varre uma faixa estreita. Podem-se definir 4 versões diferentes para a transformação, denotadas aqui por A 1 {\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}} a A 4 {\displaystyle {\mathcal {A}}_{4}} , cada uma delas sendo útil na solução de determinados problemas. Não há consenso na literatura a respeito da numeração a ser atribuída a cada versão. A versão mais usada da transformada de Abel de uma função f(r) é dada por: F ( y ) = 2 ∫ y ∞ f ( r ) r d r r 2 − y 2 . {\displaystyle F(y)=2\int _{y}^{\infty }{\frac {f(r)r\,dr}{\sqrt {r^{2}-y^{2}}}}.} Assumindo f(r) indo a zero mais rapidamente que 1/r, a correspondente transformada inversa é dada por: f ( r ) = − 1 π ∫ r ∞ d F d y d y y 2 − r 2 . {\displaystyle f(r)=-{\frac {1}{\pi }}\int _{r}^{\infty }{\frac {dF}{dy}}\,{\frac {dy}{\sqrt {y^{2}-r^{2}}}}.} Essa versão é um caso especial da transformada de Radon bidimensional. Ela também pode ser relacionada com a transformada de Hankel e com a transformada de Fourier por meio do teorema da fatia central. A transformada de Abel também está associada ao tema das transformadas fracionais, tendo sido Abel um dos primeiros a explorar o Cálculo Fracional. As equações integrais (fracionárias) de Riemann-Liouville e de Weyl podem ser resolvidas com ajuda da transformada de Abel, após a conveniente substituição de variáveis....