Divergence (analyse vectorielle)

En géométrie, la divergence d'un champ de vecteurs est un opérateur différentiel mesurant le défaut de conservation du volume sous l'action du flot de ce champ. L'opérateur divergence est un outil d'analyse vectorielle qui mesure, pour faire simple, si un champ vectoriel « entre » ou « sort » d'une zone de l'espace, comme ce que l’on peut observer sur un diagramme de lignes de champ. Il donne donc une information très liée aux sources qui créent le champ. Les équations de continuité permettent de comprendre intuitivement cette notion : la divergence mesure en effet localement les variations de densité de flux. On retrouve cette grandeur, macroscopiquement cette fois, dans les valeurs de diffusion de particule ou de chaleur par exemple. Ainsi, en un point, si la divergence est nulle, alors la densité ne varie pas ; si elle est positive en ce point, alors il y a diffusion. En mécanique des fluides, si un fluide rentre dans un tube compressible avec davantage de force qu'il n'en sort à l'autre extrémité, le tube aura tendance à voir sa pression interne augmenter, et donc aussi son volume. La divergence ne caractérise cependant pas le comportement du tube, mais bien les caractéristiques du flux de matière, susceptibles d'influer sur le volume traversé. Plus précisément, soit t ↦ ϕ t ( x ) {\displaystyle t\mapsto \phi _{t}(x)} la trajectoire du champ X issue de x. Ces trajectoires s'organisent en une famille de transformations x ↦ ϕ t ( x ) {\displaystyle x\mapsto \phi _{t}(x)} (le flot de X), et pour tout domaine D on a d d t vol ⁡ ( ϕ t ( D ) ) | t = 0 = ∫ D div ⁡ X d x {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\operatorname {vol} (\phi _{t}(D))_{\vert t=0}=\int _{D}\operatorname {div} X\mathrm...